Q. 수학을 잘해보고 싶어하는 마음은 있으나 생각만큼 성적이 나오지 않아(80점좌우) 고입을 앞두고 걱정과 속상함이 함께 있는 학생입니다.
중3 1학기까지는 배운 것을 충분히 복습하지 않은 채 시험을 보아왔지만 이번 2학기 중간고사에서는 교과서와 교과서 익힘책을 4번, 쎈 수학은 B단계까지 풀고 오답 해결하는 식으로(과외나 학원을 다니지 않습니다.) 수학공부를 했는데, 성적은 예전과 별 차이가 없다보니 아이는 '엄마, 학원을 가야할 것 같애'라고 말합니다.
주위 친구들은 고등학교 수학을 선행하며 중학교과정을 심화해가는 상황이구요. 최근 아이가 자신이 진로목표가 생기면서 공부에 욕심을 내고 있어 '수학'에 대한 고민을 해결해주고 싶습니다. 어떤 사람은 무의식적으로, 또 '빛의 속도'로 문제를 풀 수 있을 정도로 심화문제까지 많이 다루어야 한다고 하는데, 제 아이는 이렇게 해오지 않았거든요.
궁금한 것이 많고, 그것이 해결이 안되면 그 다음으로 잘 넘어가지 않는, 안되면 그냥 외워버리는 게 안되다보니 좀 느려졌나 싶기도 합니다. 중3 2학기 기말을 앞둔 상황에서 성적에서의 성취감을 가질 수 있으면서 예비 고등학생인 저희아이에게 좋은 조언해주시기 바랍니다. 학교에서 공부한 것만으로는 정말 어려운 걸까요?
A. 수학을 잘해보고 싶어하는 마음은 있으나 생각만큼 성적이 나오지 않아(80점좌우) 고입을 앞두고 걱정과 속상함이 함께 있는 학생입니다.
-> 상위권 학생으로 보입니다. 수학이 80점 좌우인데 속상한 것을 보면 다른 과목은 적어도 다 90점을 넘긴다는 것으로 추측되는데 맞는지는 모르겠습니다. 가능성도 충분하고 수학을 포기한 상태는 아니니 정확한 고민이 필요합니다.
중3 1학기까지는 배운 것을 충분히 복습하지 않은 채 시험을 보아왔지만 이번 2학기 중간고사에서는 교과서와 교과서 익힘책을 4번, 쎈 수학은 B단계까지 풀고 오답 해결하는 식으로(과외나 학원을 다니지 않습니다.) 수학공부를 했는데, 성적은 예전과 별 차이가 없다보니 아이는 '엄마, 학원을 가야할 것 같애'라고 말합니다.
-> 이번 중간고사에 공부한 것을 보면 정말 애를 썼다는 것을 느낄 수 있습니다. 특히 교과서와 익힘책을 4번씩이나 본 것은 절대 후회하지 말기를 바랍니다. 다만 이번 시험의 난이도가 조금 높지 않았나 생각됩니다. 지역이 강남이다보니 대부분의 학교가 교과서를 훨씬 뛰어넘는 기술적인 문제들을 출제하고 있는 것이 문제입니다. 교과서와 익힘책은 개념적인 학습에는 최고의 책입니다. 그리고 고등학교에 가면 기술적인 문제들보다 개념적인 문제들이 많으니 절대로 교과서를 등한시 하는 공부는 피하시기 바랍니다. 강남지역 중학교는 상대평가라는 제도 때문에 수학의 개념적인 문제를 출제하지 않고 기술적인 어려움으로 변별력을 가르려고 하고 있습니다.
주위 친구들은 고등학교 수학을 선행하며 중학교과정을 심화해가는 상황이구요. 최근 아이가 자신이 진로목표가 생기면서 공부에 욕심을 내고 있어 '수학'에 대한 고민을 해결해주고 싶습니다. 어떤 사람은 무의식적으로, 또 '빛의 속도'로 문제를 풀 수 있을 정도로 심화문제까지 많이 다루어야 한다고 하는데, 제 아이는 이렇게 해오지 않았거든요. 궁금한 것이 많고, 그것이 해결이 안되면 그 다음으로 잘 넘어가지 않는, 안되면 그냥 외워버리는 게 안되다보니 좀 느려졌나 싶기도 합니다.
-> 수학의 개념학습에서 가장 중요한 것은 초등학교 고학년에 다 있습니다. 초등 고학년에 배우는 분수 개념과 비율 개념은 비례적 추론 능력이라는 수학교육에서 가장 어렵고 중요한 개념입니다. 중고등학교 수학 중 이보다 어려운 개념은 없습니다. 모두가 이 두 개념을 이용하고 있을 뿐입니다. 그런데 상당수의 부모들이 초등 고학년부터 중학교나 고등학교 선행학습을 시키고 있습니다. 그래서 정확하게 수학의 기초 개념인 비례적 추론 능력이 아이들에게 이해되지 못한채 중고등학교 문제 풀이에 매몰되고 있는 현실이 안타깝습니다. 중2에서 상당히 어려워하는 닮음이나 중3에서 어려워하는 삼각비 등은 초등의 비례 개념이 그대로 사용되고 있으며, 비례 개념이 정확하다면 심지어는 고등학교 미분까지도 별다른 개념이 아님을 느끼며 공부할 수 있습니다. 수학에서 '빛의 속도'로 문제를 풀어야 하는 경우는 초등의 연산 시험이 가장 심하며, 중학교의 시험 일부가 그럴 수 있습니다. 고등학교 시험에서는 그런 경우가 별로 없습니다.
중3 2학기 기말을 앞둔 상황에서 성적에서의 성취감을 가질 수 있으면서 예비 고등학생인 저희아이에게 좋은 조언해주시기 바랍니다. 학교에서 공부한 것 만으로는 정말 어려운 걸까요?
-> 중학교에서 사교육 없이 혼자만으로 공부로 그것도 서울의 강남 지역에서 80점을 받는 것은 최고의 성적으로 인정할 수 있습니다. 고등학교 올라가면 다른 아이들보다 좋은 성적을 확실히 받을 수 있습니다. 다만 계속적으로 자기 주도적인 학습 습관이 이어진다는 보장과 수학 교과서의 개념을 충분히 이해한 후에 문제를 개념적으로 풀기 시작한다는 보장이 있어야만 합니다.
수학에서 가장 중요한 것은 문제를 푸는 시점의 준비 상태입니다. 대부분의 경우 수학 개념을 충분히 이해하지 못한 상태에서 급한 마음에 문제에 손을 대는데 개념 이해가 부족하기 때문에 당연히 문제를 푸는 방법은 공식을 암기해서 푸는 쪽으로 갈 수밖에 없습니다. 개념 공부라는 것은 공식을 이용하지 않고, 오히려 모르던 공식까지도 만들어가면서 공부하는 것인데 이미 공식을 외워버리면 더 이상 개념 공부가 되지 않는다는 것이 인간의 심리입니다.
지금의 학습 방법이 네가 말씀드린 대로라면 이 학생은 고2 정도에 이과에 가면 확실하게 다른 아이들보다 뛰어난 점수를 받을 것입니다. 고2 이과는 내용이 너무 많아 개념이 확실하게 쌓인 아이가 아니면 무너지기 시작합니다.
개념학습은 교과서의 정의가 일차적인 공부이고, 새로운 개념이 나오면 이전의 어떤 개념과 연결되는지를 깊이 있게 파고 내려가서 수학에서 말하는 공리(근본, 스스로 존재하는 것)까지 내려가는 것이 심화학습입니다. 어려운 문제를 푸는 것은 심화학습처럼 회자되고 있지만 심화학습은 개념적으로 뿌리를 찾아 깊이 있게 내려가서 모든 개념의 원천을 찾고, 그 개념에 새로운 개념들을 연결해서 수학의 모든 개념을 하나로 만드는 작업입니다. 이렇게 공부한다면 개념 공부만으로 충분하며 문제집을 여러 권 풀 시간도 없습니다. 그래도 훨씬 강한 수학 실력을 갖출 수 있으며 새로운 문제가 어떻게 나와도 다 연결할 수 있는 힘을 발휘할 것입니다.
공부라는 것은 이런 수학적 힘을 갖게 만드는 것이 아닐까요?
Q. 수학을 잘해보고 싶어하는 마음은 있으나 생각만큼 성적이 나오지 않아(80점좌우) 고입을 앞두고 걱정과 속상함이 함께 있는 학생입니다.
중3 1학기까지는 배운 것을 충분히 복습하지 않은 채 시험을 보아왔지만 이번 2학기 중간고사에서는 교과서와 교과서 익힘책을 4번, 쎈 수학은 B단계까지 풀고 오답 해결하는 식으로(과외나 학원을 다니지 않습니다.) 수학공부를 했는데, 성적은 예전과 별 차이가 없다보니 아이는 '엄마, 학원을 가야할 것 같애'라고 말합니다.
주위 친구들은 고등학교 수학을 선행하며 중학교과정을 심화해가는 상황이구요. 최근 아이가 자신이 진로목표가 생기면서 공부에 욕심을 내고 있어 '수학'에 대한 고민을 해결해주고 싶습니다. 어떤 사람은 무의식적으로, 또 '빛의 속도'로 문제를 풀 수 있을 정도로 심화문제까지 많이 다루어야 한다고 하는데, 제 아이는 이렇게 해오지 않았거든요.
궁금한 것이 많고, 그것이 해결이 안되면 그 다음으로 잘 넘어가지 않는, 안되면 그냥 외워버리는 게 안되다보니 좀 느려졌나 싶기도 합니다. 중3 2학기 기말을 앞둔 상황에서 성적에서의 성취감을 가질 수 있으면서 예비 고등학생인 저희아이에게 좋은 조언해주시기 바랍니다. 학교에서 공부한 것만으로는 정말 어려운 걸까요?
A. 수학을 잘해보고 싶어하는 마음은 있으나 생각만큼 성적이 나오지 않아(80점좌우) 고입을 앞두고 걱정과 속상함이 함께 있는 학생입니다.
-> 상위권 학생으로 보입니다. 수학이 80점 좌우인데 속상한 것을 보면 다른 과목은 적어도 다 90점을 넘긴다는 것으로 추측되는데 맞는지는 모르겠습니다. 가능성도 충분하고 수학을 포기한 상태는 아니니 정확한 고민이 필요합니다.
중3 1학기까지는 배운 것을 충분히 복습하지 않은 채 시험을 보아왔지만 이번 2학기 중간고사에서는 교과서와 교과서 익힘책을 4번, 쎈 수학은 B단계까지 풀고 오답 해결하는 식으로(과외나 학원을 다니지 않습니다.) 수학공부를 했는데, 성적은 예전과 별 차이가 없다보니 아이는 '엄마, 학원을 가야할 것 같애'라고 말합니다.
-> 이번 중간고사에 공부한 것을 보면 정말 애를 썼다는 것을 느낄 수 있습니다. 특히 교과서와 익힘책을 4번씩이나 본 것은 절대 후회하지 말기를 바랍니다. 다만 이번 시험의 난이도가 조금 높지 않았나 생각됩니다. 지역이 강남이다보니 대부분의 학교가 교과서를 훨씬 뛰어넘는 기술적인 문제들을 출제하고 있는 것이 문제입니다. 교과서와 익힘책은 개념적인 학습에는 최고의 책입니다. 그리고 고등학교에 가면 기술적인 문제들보다 개념적인 문제들이 많으니 절대로 교과서를 등한시 하는 공부는 피하시기 바랍니다. 강남지역 중학교는 상대평가라는 제도 때문에 수학의 개념적인 문제를 출제하지 않고 기술적인 어려움으로 변별력을 가르려고 하고 있습니다.
주위 친구들은 고등학교 수학을 선행하며 중학교과정을 심화해가는 상황이구요. 최근 아이가 자신이 진로목표가 생기면서 공부에 욕심을 내고 있어 '수학'에 대한 고민을 해결해주고 싶습니다. 어떤 사람은 무의식적으로, 또 '빛의 속도'로 문제를 풀 수 있을 정도로 심화문제까지 많이 다루어야 한다고 하는데, 제 아이는 이렇게 해오지 않았거든요. 궁금한 것이 많고, 그것이 해결이 안되면 그 다음으로 잘 넘어가지 않는, 안되면 그냥 외워버리는 게 안되다보니 좀 느려졌나 싶기도 합니다.
-> 수학의 개념학습에서 가장 중요한 것은 초등학교 고학년에 다 있습니다. 초등 고학년에 배우는 분수 개념과 비율 개념은 비례적 추론 능력이라는 수학교육에서 가장 어렵고 중요한 개념입니다. 중고등학교 수학 중 이보다 어려운 개념은 없습니다. 모두가 이 두 개념을 이용하고 있을 뿐입니다. 그런데 상당수의 부모들이 초등 고학년부터 중학교나 고등학교 선행학습을 시키고 있습니다. 그래서 정확하게 수학의 기초 개념인 비례적 추론 능력이 아이들에게 이해되지 못한채 중고등학교 문제 풀이에 매몰되고 있는 현실이 안타깝습니다. 중2에서 상당히 어려워하는 닮음이나 중3에서 어려워하는 삼각비 등은 초등의 비례 개념이 그대로 사용되고 있으며, 비례 개념이 정확하다면 심지어는 고등학교 미분까지도 별다른 개념이 아님을 느끼며 공부할 수 있습니다. 수학에서 '빛의 속도'로 문제를 풀어야 하는 경우는 초등의 연산 시험이 가장 심하며, 중학교의 시험 일부가 그럴 수 있습니다. 고등학교 시험에서는 그런 경우가 별로 없습니다.
중3 2학기 기말을 앞둔 상황에서 성적에서의 성취감을 가질 수 있으면서 예비 고등학생인 저희아이에게 좋은 조언해주시기 바랍니다. 학교에서 공부한 것 만으로는 정말 어려운 걸까요?
-> 중학교에서 사교육 없이 혼자만으로 공부로 그것도 서울의 강남 지역에서 80점을 받는 것은 최고의 성적으로 인정할 수 있습니다. 고등학교 올라가면 다른 아이들보다 좋은 성적을 확실히 받을 수 있습니다. 다만 계속적으로 자기 주도적인 학습 습관이 이어진다는 보장과 수학 교과서의 개념을 충분히 이해한 후에 문제를 개념적으로 풀기 시작한다는 보장이 있어야만 합니다.
수학에서 가장 중요한 것은 문제를 푸는 시점의 준비 상태입니다. 대부분의 경우 수학 개념을 충분히 이해하지 못한 상태에서 급한 마음에 문제에 손을 대는데 개념 이해가 부족하기 때문에 당연히 문제를 푸는 방법은 공식을 암기해서 푸는 쪽으로 갈 수밖에 없습니다. 개념 공부라는 것은 공식을 이용하지 않고, 오히려 모르던 공식까지도 만들어가면서 공부하는 것인데 이미 공식을 외워버리면 더 이상 개념 공부가 되지 않는다는 것이 인간의 심리입니다.
지금의 학습 방법이 네가 말씀드린 대로라면 이 학생은 고2 정도에 이과에 가면 확실하게 다른 아이들보다 뛰어난 점수를 받을 것입니다. 고2 이과는 내용이 너무 많아 개념이 확실하게 쌓인 아이가 아니면 무너지기 시작합니다.
개념학습은 교과서의 정의가 일차적인 공부이고, 새로운 개념이 나오면 이전의 어떤 개념과 연결되는지를 깊이 있게 파고 내려가서 수학에서 말하는 공리(근본, 스스로 존재하는 것)까지 내려가는 것이 심화학습입니다. 어려운 문제를 푸는 것은 심화학습처럼 회자되고 있지만 심화학습은 개념적으로 뿌리를 찾아 깊이 있게 내려가서 모든 개념의 원천을 찾고, 그 개념에 새로운 개념들을 연결해서 수학의 모든 개념을 하나로 만드는 작업입니다. 이렇게 공부한다면 개념 공부만으로 충분하며 문제집을 여러 권 풀 시간도 없습니다. 그래도 훨씬 강한 수학 실력을 갖출 수 있으며 새로운 문제가 어떻게 나와도 다 연결할 수 있는 힘을 발휘할 것입니다.
공부라는 것은 이런 수학적 힘을 갖게 만드는 것이 아닐까요?